基本公式 / Basic formulas

Published: December 30, 9999

Table of contents.

1. 平均 / Mean
2. 期待値 / Expectation value
- 2.1. Xが離散型確率変数 / discrete random variable
- 2.2. Xが連続型確率変数 / continuous random variable
3. 分散
4. 相関係数 / Correlation coefficient
5. 標準偏差 / Standard Deviation (SD)
6. 変動係数 (CV : Coefficient of variation)
7. 標準誤差 / Standard Error

Contents.

1. 平均 / Mean

$\mu = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {x_i}$

2. 期待値 / Expectation value

2.1. Xが離散型確率変数 / discrete random variable

p(x) : 確率質量関数 / probability mass function (pmf)

$E \left( X \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {x_i P \left(X = x_i \right)} = \sum\limits_{i = 1}^n {x_i \cdot p \left( x \right)}$

2.2. Xが連続型確率変数 / continuous random variable

f(x) : 確率密度関数 / Probability density function (pdf)

$E \ \left( X \right) = \int^{\infty}_{-\infty}x\cdot f(x)\:dx$

3. 分散

3.1. 母分散 / Population variance

$\sigma^2 = V \left( X \right) = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n{\left( {x_i - \mu } \right)^2} = \sum\limits_{i=1}^n{\left( {x_i - \mu } \right)^2p_i}$

3.2. 標本の分散

3.2.1. 標本分散 / Sample variance

$s^2 = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n{\left( {x_i - \bar x } \right)^2}$

3.2.2. 不偏分散 / Unviased variance

DoF : 自由度 / degree of freedom
RSS : 偏差平方和 / residual sum of squares

$\hat{\sigma}^2 = u^2 = \frac{1}{n -1}\sum\limits_{i=1}^n{\left( {x_i - \bar x } \right)^2} = \frac{RSS}{DoF}$

不偏分散の期待値は母分散（推定したいもの）と一致する ⇒ 母分散の不偏推定量である。

$E(\hat{\sigma}^2) = E(u^2) = \sigma^2$

3.3. 共分散 / Covariance

$Cov\left( X, Y \right) = E\left(XY \right) - E\left(X\right)E\left(Y\right) \\$

Y=Xの場合を考えると、分散の式になる。

\begin{align} Cov\left( X, X \right) &= E\left( XX \right) - E\left( X \right)E\left( X \right) \nonumber \\\
&= E\left( X^2 \right) - \bigl( E \left( X \right)\bigr)^2 = V\left( X \right) \end{align}

3.4. 分散の公式 / Formulas for the variance

\begin{align} & V\left( aX \right) = a^2 V\left( X \right) \\\
& V\left( X + b \right) = V\left( X \right) \\\
& V\left( aX + b \right) = a^2V\left( X \right) \\\
& V(X) = E \left( X^2 \right) - \bigl( E \left( X \right) \bigr)^2 \end{align}

3.4.1. XとYが独立の場合

$V\left( X + Y \right) = V\left( X \right) + V\left( Y \right)\\ V\left( X \color{red}-\color{black} Y \right) = V\left( X \right) \color{red}+\color{black} V\left( Y \right)$

3.4.2. XとYが独立でない場合

$V\left( X + Y \right) = V\left( X \right) + V\left( Y \right) + 2Cov\left( X,Y \right)\\ V\left( X \color{red}-\color{black} Y \right) = V\left( X \right) \color{red}+\color{black} V\left( Y \right) \color{red}-\color{black} 2Cov\left( X,Y \right)\\ V\left( X + Y +Z \right) = V\left( X \right) + V\left( Y \right) + V\left( Z \right) + 2Cov\left( X,Y \right) + 2Cov\left( X,Z \right) + 2Cov\left( Y,Z \right)$

4. 相関係数 / Correlation coefficient

$Corr\left( X, Y \right) = \frac{Cov \left( X, Y\right)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y} = \frac{Cov \left( X, Y\right)}{\sqrt{ V\left( X \right) \cdot V\left( Y \right)}}$

5. 標準偏差 / Standard Deviation (SD)

$\sigma = \sqrt {\sigma_2 }$

6. 変動係数 (CV : Coefficient of variation)

量の散らばり具合を表す統計量。本来比較が難しい2種類以上の比較することが出来る。例えば、人の身長の散らばり具合と体重の散らばり具合の比較とか。

$CV = \frac {\sigma} {\mu}$ $CV = \frac {s} {\bar x}$

7. 標準誤差 / Standard Error

$\frac{\sigma}{\sqrt n}$

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Hidehiro Okamoto