統計検定 2級 2016年11月
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解き方
問8 / [14]
Point
標準化という言葉から「平均=0」「分散=1」を連想する。無相関という言葉から「共分散=0」を連想する。
Slution
相関係数の式に$ Y=\left(X_1 + X_2 + X_3 \right)/3 $ を代入する。
分子の共分散を展開する。
\begin{aligned} & Cov \bigl( X_1, \left(X_1 + X_2 + X_3 \right)/ 3 \bigr) \\\
&= E \bigl( X_1 \cdot \left(X_1 + X_2 + X_3 \right)/ 3 \bigr) - E\left( X_1 \right) E\bigl( \left(X_1 + X_2 + X_3 \right)/3 \bigr) \\\
&= 1/3 \cdot E\left(X_1^2 + X_1 X_2 + X_1 X_3 \right) - 1/3 \cdot \bigl( E\left(X_1\right)^2 + E\left(X_1\right)E\left(X_2\right) + E\left(X_1\right)E\left(X_3\right) \bigl) \\\
&= 1/3 \cdot \bigl( E\left( X_1^2 \right) + E\left( X_1 X_2 \right) + E\left( X_1 X_3 \right) - E\left( X_1 \right)^2 - E\left( X_1 \right)E\left( X_2 \right) - E\left( X_1 \right) E\left( X_3 \right) \bigr) \\\
&= 1/3 \cdot \bigl( V\left( X_1 \right) + Cov \left( X_1, X_2 \right) + Cov \left( X_1, X_3 \right) \bigr) \end{aligned}
ここで、$ X_1, X_2, X_3 $は無相関なので、それぞれの「共分散=0」となる。また、標準化されているので$ \bigl( V\left( X_1 \right) \bigr) = 1 $となる。つまり分子は
分母を展開する。
\begin{align} & \sqrt{ V\left( X_1 \right) \cdot V\bigl( \left(X_1 + X_2 + X_3 \right)/3 \bigr)} \nonumber \\\
&= \sqrt{1 \times \frac{1}{9} \bigl( V\left( X_1 \right) + V\left( X_2 \right) + V\left( X_3 \right)\bigr)} \nonumber \\\
\label{denominator} &= \sqrt{1 \times \frac{3}{9}} = \sqrt{\frac{1}{3}} \end{align}
$\left( \ref{numerator} \right)$と$\left( \ref{denominator} \right)$を用いて$\left( \ref{corr} \right)$を計算する。
\begin{aligned} \frac{1}{3} \div \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} = 0.58 // \end{aligned}
Memo
問8 / [15]
Point
- 標準化された2つの確率変数XとYは、それぞれ分散=1になる。よってXとYが独立でない場合、それらの相関係数と共分散が同じ値になる。(独立の場合は、相関係数も共分散も0)
- 独立でない確率変数の和の分散V(X+Y)を展開した式はどうなるか。
Slution
まず、Pointの1を考える。
$X_1$も$X_2$も$X_3$も標準化さてているため、分散=1になる。また、相関係数=0.5なので、以下の式が成り立つ。
[14]より、$Corr\left( X_1, Y \right)$の分子を$\left( \ref{corr_eq_cov} \right)$を用いて計算すると以下になる。
\begin{align} Cov\left( X_1, Y \right) &= 1/3 \cdot \bigl( V\left( X_1 \right) + Cov \left( X_1, X_2 \right) + Cov \left( X_1, X_3 \right) \bigr) \nonumber \\\
&= 1/3 \cdot \left( 1 + 0.5 + 0.5 \right) \nonumber \\\
\label{numerator2} &= \frac{2}{3}
\end{align}
[14]より、$Corr\left( X_1, Y \right)$の分母を展開する。その際、$X_1,X_2,X_3$は独立でない事に注意する。分散の公式を参照。
\begin{align} & \sqrt{ V\left( X_1 \right) \cdot V\bigl( \left(X_1 + X_2 + X_3 \right)/3 \bigr)} \nonumber \\\
&= \sqrt{1 \times \frac{1}{9} \bigl( V\left( X_1 \right) + V\left( X_2 \right) + V\left( X_3 \right) + 2Cov\left(X_1,X_2\right) + 2Cov\left(X_1,X_3\right)+ 2Cov\left(X_2,X_3\right)\bigr)} \nonumber \\\
&= \sqrt{\frac{1}{9} \left( 1 + 1 + 1 + 2 \times 0.5 + 2 \times 0.5 + 2 \times 0.5\right)} \nonumber \\\
\label{denominator2} &= \sqrt{\frac{2}{3}} \end{align}
$\left( \ref{numerator2} \right)$と$\left( \ref{denominator2} \right)$を用いて$\left( \ref{corr} \right)$を計算する。
\begin{aligned} \frac{2}{3} \div \sqrt{\frac{2}{3}} = 0.82 // \end{aligned}
Memo
問9 / [17]
Point
Slution
参加者は平均50（人）のポアソン分布に従うとあるので、参加者数をXとすると、条件よりXは$\mu=50$の正規分布に近似できる。
$\overline{X}>60$の確率を求める。
Memo
問11 / [22]
Point
- (ア)も(イ)も暗記しておく。
- 不偏分散の式を暗記する。
- 平均の2乗の不偏推定量も暗記する。
Slution
確率件数$X_1, X_2, …X_n$が平均$\mu$、分散$\sigma^2$に独立に従うとき、$\sigma^2$の不偏推定量（不偏分散）$\hat{\sigma}^2$は以下の式。覚える。
$\mu^2$の不偏推定量は、その期待値が$\mu^2$と等しくなるということ。覚える。